('\n <p> 片刻后，乔喻放下手机，冲着身边的兰杰问了句：“兰老师，你知道代数数论小树屋这个论坛吗？”</p><p> 兰杰收回盯着手机的目光，看向乔喻，疑惑的摇了摇头，答道：“没听说过。不过我虽然本硕都是数学专业，但主修的不是数论。这种论坛一听名字就知道专业性很强，没听过也是正常的。”</p><p> “哦。那丢番图方程总该知道吧？”乔喻继续问道。</p><p> 兰杰有些莫名其妙，但还是耐心的答道：“虽然我不是主修数论，但毕竟拿到了硕士学位，这种基础的东西肯定还是知道的。你突然问这个干嘛？”</p><p> “假如有个人求出了某个丢番图方程的整数解，大概是个什么水平？”乔喻继续问道。</p><p> 兰杰温和的说道：“那得看是哪种丢番图方程了。比如pell方程，类似于x2 - ny2 = 1这种，如果n的值不大的话，个人认为也不算特别难解。如果是一次的就更简单了。”</p><p> 乔喻犹豫了一下，还是拿出了从随身的包里翻出本子跟笔，随后将论坛上署名老薛那个数学大咖给出的方程写了出来，然后递了过去。</p><p> “就比如这种方程。”</p><p> 兰杰先是狐疑的看了乔喻一眼，才接过乔喻递来的本子，仔细打量起这个方程。</p><p> 片刻后，兰杰说道：“笔给我用下。”</p><p> 接过笔，兰杰也对这个方程做了简单的变形，然后困惑的看向乔喻：“你把这个方程的整数解求出来了？”</p><p> “我是说假如有个人。”乔喻强调道。</p><p> “假如么？”</p><p> 兰杰又瞥了乔喻一眼，又看了看稿纸上的变形，说道：“费马你应该知道吧？就是那个发现了一个非常美妙的证明，但书的空白太小，写不下那个家伙……这题目真要求解的话，我觉得可能这个本子也写不下。”</p><p> 乔喻撇了撇嘴，心里想着加上计算过程的话，这个本子应该是够了，字体不写太大的就行了。</p><p> 只是脸上的小表情恰好被兰杰注意到了，诧异道：“你还真解出来了？”</p><p> “嗯？”乔喻感觉心里有点痒了，十五岁少年那点炫耀的小心思已经忍不住在脑海中开始萌芽，抬头……</p><p> “不是，这是大好事啊！你的计算过程如果能总结出规律，说不定能发表一篇质量颇高的论文！额……你可能还不懂论文！这种论文在大学里很吃香的！如果能发表到一区期刊，学校一般还会有现金奖励。没有必要瞒着啊！”</p><p> 兰杰忍不住快速地说道。</p><p> 他知道跟乔喻说其他的没什么用，但现金奖励绝对能引起他的兴趣。</p><p> “发表论文也能赚钱？”乔喻诧异道。</p><p> “当然！不过也得看是发表在什么层级的期刊上！一般的sci华科院一区，可能不会太多。但如果是一区里面排名靠前，国外的一些知名期刊，几万，十几万，甚至几十万都有。</p><p> 不过先别谈这个，先回到这道方程你真解出来了？”兰杰很肯定的答道。</p><p> 乔喻想了想，然后点了点头。</p><p> 兰杰深吸了口气……</p><p> 没有着急问答案，而是开口问道：“那你在担心什么？”</p><p> “我好像一次性得罪了不少很厉害的人。”乔喻老老实实的答道。</p><p> “你解出一个方程跟你得罪人有什么关系？等等，那个什么代数数论论坛？”兰杰皱着眉头问道。</p><p> 乔喻想了想，干脆在手机上又调出了论坛，然后把自己的帖子打开，递给了兰杰。</p><p> 兰杰认真的看完了乔喻的帖子，又开始深呼吸……</p><p> “你怎么知道……”</p><p> 乔喻伸手直接点开了论坛上面的私信框。</p><p> 兰杰看完后沉默了。</p><p> 私信里他甚至看到了曾经母校，如今一位知名教授的名字。虽然这位教授在他读硕士的时候都还没加入，但这位加入的时候，母校官网可是专门发文庆祝，校友群还专门聊过。</p><p> 其他还有很多名字对他来说也是如雷贯耳，毕竟华夏数学圈真就那么大。加上现在网络发达，哪怕他只是个高中数学教研组组长，但数学界一些动态还是有了解的。</p><p> 大脑开始变得混乱。</p><p> 想到乔喻在一帮四、五十岁的教授面前自称小爷，还疯狂刺激这帮教授，他便觉得有些恍惚。</p><p> 当然最重要的还是乔喻这小子竟然真把这个方程给解出来了！</p><p> 这些大教授为什么被乔喻讽刺了一波，还舔着脸要他的联系方式？</p><p> 不就是因为他们都觉得很难解出来吗？</p><p> 片刻后，兰杰强压下混乱的情绪，开口说道：“其实这些都不重要。”</p><p> “嗯？得罪这些大佬也不重要？我在网上搜了其中几个名字，感觉很厉害的。”乔喻强调了句。</p><p> “没事，以后你把他们给都打压下去，你不就也是大佬了？”</p><p> 兰杰的语气听起来古井不波，很沉稳，但有种平静的癫感，很难相信这是从一个科班出身的数学老师口中吐出来的，但却让乔喻的眼</p> ', ' ')('\n <p>睛亮了起来。</p><p> 老好人这个建议好，他很喜欢。</p><p> 那些大教授一个个口气那么大，想来都是很有钱的。</p><p> 把他们打压下去，那这些大教授可以赚的钱，他自然也可以赚了。</p><p> “你先给我讲讲，你的解题思路吧，我看看有没有普适性。”</p><p> 感谢书友忧愁＆浪子、九天龙、我真想白piao、老理空间、_晚来天欲雪的打赏支持</p><p> 对不起，我水平不够……</p><p> ……</p><p> “……你看，这样就是一个椭圆曲线了。不过不是一般的圆锥曲线中的椭圆，而是域上亏格为1的光滑射影曲线。如果特征不等于2的话，那么仿射方程就是y2=x3+ax2+bx+c。</p><p> 那个bsd猜想的前置条件你肯定还记得吧？复数域上的椭圆曲线为亏格为1的黎曼面，整体域上的椭圆曲线是有限生成交换群。阿贝尔簇是椭圆曲线的高维推广。</p><p> 所以这个时候我感觉就要把椭圆曲线化成魏尔斯特拉斯形式。这是我看了很多相关理论之后才找到的方法。这种变形就属于很机械的操作，前提条件是方程至少存在一个有理数点。</p><p> 但显然这一步是成立的，之前我们已经证明了，所以我们就能得到这两个公式……”</p><p> 乔喻一边说，一边在小桌板上用笔写着。</p><p> 兰杰则认真听着，脖子脖子伸得老长，去看乔喻的整体解题过程，以及随手用坐标系画出的平面图。</p><p> “……很显然，我们现在得到了一条有着两个实部的经典椭圆曲线。右边的线，明显是连续延伸至正负无穷，左边的封闭椭圆曲线就是求解的关键了，给定这个方程任意解，都可以用等式还原我们要求的数值。”</p><p> “这一步最关键的地方就在于三元组（a：b：c）必须是投影曲线，这才可以随便乘什么常数，都能让方程成立。接下来就要用到双向有理等价了，我就直接在这个椭圆曲线上找一个最方便求解的有理数点，再带入原方程，就能求出解了。</p><p> 其实到了这一步就简单了，椭圆曲线理论中，弦切技巧是生成新的有理数点的关键工具嘛。只要在椭圆曲线上找到两个已知的有理数点:p1跟p2，就能通过加法生成新的有理数点。</p><p> 接下来就是直接在构造切线了，这个时候就自然形成了一个阿贝尔群，我们要引入o这个群中的零元，根据规则，任何一个点p跟o相加时结果依然是p。</p><p> ……我们再通过作p点的切线，找到p跟曲线再次相交的点，然后再计算，如果得不到整数解，就继续用连接p和2p找到与曲线的第三个交点再与o点相连找到第四个交点，不行就重复这个步骤找第五个交点……</p><p> 总之就是重复这个步骤，一直到找到对应的整数解为止。不过这一步靠手算肯定不行了，只能用电脑来算，找到那个值后，再用几何程序进行迭代。</p><p> 最后计算9p才是整数，然后就是用得到的9p的值，做9次几何程序迭代，最后就能得出上述这个方程a，b，c的值了。整个解题思路就是这样。”</p><p> ……</p><p> 乔喻一口气讲了整整一个小时，只觉得口干舌燥，讲完之后，直接拿出插在前面座椅背上的矿泉水，狠狠地灌了几口。才开问道：“咋样，兰老师，你觉得我这种解法有普适性吗？”</p><p> 兰杰回过神来，看了一眼乔喻，没有第一时间回答。</p><p> 毕竟要判断出这种解法有没有普适性，首先他得完全理解这种解法。</p><p> 让乔喻讲解，是因为他本以为乔喻在解这个方程时，不会用到太过复杂的数论方面内容。毕竟乔喻给他的印象一直是有天赋，但并没有针对数学系统的学习过。</p><p> 而他不一样，大学时候也是系统学过抽象代数，数论入门这些课程的，不至于听不懂。</p><p> 但显然他错了。</p><p> 听乔喻讲解的时，他甚至回想起大学那段青葱岁月，被高级代数几何所支配的恐惧。</p><p> 什么射影几何，模空间是真的让人很头大。他拼了命学最后也只是勉强过关，拿到了学分。当然班上也有很多厉害的同学，随随便便学学就能拿满分的。</p><p> 这也是他研究生阶段选择组合数学，毕业之后回到星城当了个高中数学老师的原因。</p><p> 真不是他不想做科研，继续读博士，然后争取能在高校当老师。</p><p> 主要还是能力有限，真读不动了。</p><p> 所以他是真没完全听懂乔喻求解这个方程的思路。</p><p> 众所周知，如果要判断数学上某个求解方法对一类方程是否具备普适性，首先得完全理解整个求解思路。</p><p> 这就很尴尬了。</p><p> 本以为凭借他在大学积累的数学知识，听完乔喻现场讲解之后，肯定能给出一个答案的。</p><p> 但现在他需要在丢人跟想办法掩饰之间做出一个选择。</p><p> 大概沉吟了十秒钟后，兰杰选择了坦诚。</p><p> 因为他是真不太会装。</p><p> “乔喻，说实话，我的水平不够，没法判断……</p> ', ' ')('\n <p>所以这个问题你只能自己去尝试了。找几个同类的方程，用你这种方法去求解，如果最后都能得出正确答案的话，就可以动笔写论文了。</p><p> 论文具体怎么解决问题，我没办法帮你。但我可以教你论文具体该怎么写。毕竟数学论文的撰写是有着特定的格式跟行文要求的，也有一些常见的通用标准。”</p><p> 乔喻诧异的看了眼兰杰。</p><p> 因为这道题的确很难，可以说是他认真学习数学以来遇到过的最难的一道方程求解题，所以讲的时候多少存了点炫耀的心思，是真讲的挺仔细。</p><p> 但老好人竟然说他没听懂？</p><p> “呼……我说过的，我大学没怎么在代数几何、数论这块下功夫。如果只是初阶的还行，也就是只有本科时候学过的内容。更深的数论……我硕士阶段主攻的是组合数学，就是研究离散结构的组合性质，排列、组合、图、集、序列那一类的问题……</p><p> 而且参加工作后，高中数学你懂的……至于奥赛中关于这方面的内容，也不会涉及的很深入，只会涉及高等代数跟数论最基础的一部分东西。主要培养的还是一个用初级数学方法，来解决问题的能力。所以……”</p><p> 迎着乔喻探寻的目光，兰杰有些结巴的解释着。</p><p> 好吧，这的确是挽尊。</p><p> 毕竟数学这门学科，也分了无数个方向……而数论显然是最需要天赋的那个方向。</p><p> 不懂其实很正常。</p><p> 关键是乔喻的年纪跟经历太伤人了。</p><p> “哦，这样啊……我懂的，这属于术业有专攻，这些东西恰好不是您擅长的那个方向。”乔喻很体贴的说道，甚至再次用上了敬称了。</p><p> 兰杰张了张嘴，但却没说什么。</p> ', ' ')